Banana Phorum

Rubrica settimanale di matematica
(2 problemi: uno di geometria e uno di algebra, per mantenervi in forma)

PROBLEMA 1 (Algebra):

Quali sono i valori di (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.gif)
tali che la seguente equazione, risolta in (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)
abbia soluzioni reali ?

(http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/9535eb9dd17048eccaed63653d5e28db.gif)

PROBLEMA 2 (Geometria):

Considera la retta (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/ba15c88cf295f126f7c282a78f6f56e4.gif) e una trasformazione data dalla composizione di:

1- Una simmetria assiale di asse
(http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/a8a03fa1525148942d1e64111a7111fe.gif)
2- Una traslazione di vettore (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/3ed419a0a6c95658762f97c525063c1f.gif)
3- Una rotazione di 180°

Trova tutte le rette unite alla retta stessa

Sbaglio o per il primo problema non ci sono soluzioni in R?

Eguagliamo il discriminante a zero

k^2+16+4k+4(k-3)(k-1)=0
9k+12k+28=0
risolvendo, il discriminante è minore di zero
di conseguenza non ci sono soluzioni in R

E' sicuramente falso [Steve]

Infatti, per (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/d425c55d57cd55fcab081d411d30c5a4.gif)
l'equazione diventa:

(http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/496aca85dc0f792350f97a2aaceab577.gif)

Uff, mi ci metto quando ho tempo ;_;

Mi fate schifo .. °_°

2+2=6

le risposte sono in voi....

Non cancello i vostri messaggi per puro rispetto, ma sarebbe il caso di lasciare questi topic "intonsi". E' un avviso, non un rimprovero. Al prossimo, cancello ^^

1°: Se le soluzioni in k devono essere reali, il delta deve essere maggiore o uguale a 0. Per cui ->
b^2 - 4*a*c >= 0
Applicando la formula ridotta dato che b é pari risulta:
(b/2)^2 - a*c >= 0

Solo che mi viene -3k^2+24k+4 >= 0 ; raccogliendo un - risulta 3k^2-24k-4 <= 0 ; ma a sua volta il discriminante viene sqrt158, quindi mi sono fermato lì..

io l'ho risolta così:

k^2+16+8k+4(k-3)(k-1)=0
k^2-16+8k+4k^2-16k+12
5k^2-8k-4=0
di cui:
(8+-sqrt(64+80))/10 = (8+-12)10 -- k1=2 ; k2=-2/5

Giusto, è +4(k-3)(k-1)

Non ho visto il -, per cui avevo lasciato -4. ^^" :kaos0326:

Vi pongo un teorema utile, visto che mi sembrate molto confusi:

Teorema: con (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/765c652c418f8681cfe66d12c6111c36.gif) si ha che se (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/d9c99a803d4b1ba21942260c18768ffa.gif) è falsa, (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/0d2876b89cf5452c755b6685369b8591.gif) AUT (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.gif) è vera.

Dimostrazione:
Discende direttamente dall'assioma di tricotomia dei numeri reali.

RISOLUZIONE DEI PROBLEMI:

PROBLEMA 1 (Algebra):

Impostiamo la forma risolutiva delle equazioni di secondo grado:

(http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/9f37981145c0d386235b666441de3911.gif)

(http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/8dbb00d37389d2079efbdc2ffa34adcc.gif)

(http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/8c83c5a11e8727ee6de7f8fb0c07122d.gif)

Ora vediamo che il denominatore della forma risolutiva si annulla per (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/ceef78b61bf01306cc7e80344c92c19d.gif)
ma l'equazione, sostituendo, diventa banale:

(http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/f98a0178af1fb427b4775a50b3be0ecc.gif)

Dobbiamo escludere ora i valori che fanno diventare minore di 0 il discriminante, di conseguenza per il teorema enunciato prima:

(http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/e3576b20a1768953dd45838d25c82952.gif) o (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/20ce16b9afd8fb0cf9b44b593db27d80.gif)

che è vera per ogni (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/5b7d4476333fc472b8c5543e317ccfc7.gif).

Quindi, per conclusione, (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/5b7d4476333fc472b8c5543e317ccfc7.gif)

PROBLEMA 2 (Geometria):

Una retta (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif) è unita a una retta (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/9a05baf1f0c8377b4cea726f96a66dcd.gif) se (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/6ff988fcd7f1ff4eea2b49a7a824f735.gif) doppo-implica (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/6ed472ea728d4d2ed19abf5c84760073.gif) per ogni (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/28fbe9d847ec4593bbe9ab81add86879.gif)

Se si verifica la relazione per due punti (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/fc7af49131adc4d26e1ea60c80bf2a4d.gif) e (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/8af14d16223f55dfb5a3daf1a569f537.gif)  sappiamo che la retta (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif) ha la stessa equazione della retta (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/9a05baf1f0c8377b4cea726f96a66dcd.gif) per i postulati di Euclide.

Non essendoci parametri nell'esercizio, ci sono due situazioni:
- La retta trasformata è unita alla retta stessa
- La retta trasformata non è unita alla retta stessa

In ogni caso, quindi, può esistere al massimo una retta trasformata unita alla retta di partenza.

L'equazione della retta trasformata è (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/84b5ec43c0f828e1281f64a6620f55ee.gif) che è diversa dalla retta di partenza.

Quindi non esiste nessuna retta trasformata unita alla retta di partenza.

uff ;_;

I voti per questa sessione:

Sin 3/4
[Steve] 3+
Tbj 1
Kakoyu 1

Complimenti ragazzi

Superato da sin.. ;_;

Io ho solamente fatto una battuta.. non puoi contarla come risposta. ^^