Rubrica di matematica N°3

[Northwood]

Eccovi dei bei problemini intelligenti ^^

Problema 1 (Algebra):
Mostrare che non esiste una scomposizione reale di

Problema 2 (Aritmetica):
Dimostrare che non è un numero razionale

Problema 3 (Geometria):
Dato un triangolo rettangolo con un angolo di 30°, stabilire, dato il cateto minore m,  la lunghezza dell'ipotenusa e del cateto maggiore.

[Jericho]

Ci provo:

1)Applicando il teorema di Ruffini ad un qualsiasi binomio del tipo x(elevato ad n) + y(elevato ad n),quindi sostiutuendo la variabile y alla x otteniamo :y(elevato ad n) + y(elevato ad n) = 2y(elevato ad n) diverso da 0, per y diverso da 0.
Quindi il binomio x(elevato a n) + y(elevato ad n) non è divisibile per x-y
Sostituendo -y alla variabile x,si ottiene -y(elevato ad n) + y (elevato ad n) che è uguale a zero.Ciò è vero solo se n è dispari.Pertanto il binomio x (elevato ad n) + y (elevato ad n) è divisibile per x+y soltanto se l'esponente n appartenente ad n è dispari.
x(alla seconda) + y(alla seconda) hanno esponenti pari.Quindi non è scomponibile.

2)Un numero irrazionale è un numero che non essere scritto sotto forma di frazione.
Per assurdo supponiamo che radice di 3 sia un numero razionale,quindi che si possa scrivere in forma di a su b,una frazione semplificata,positiva e ridotta ai minimi termini.
Se una frazione è ridotta ai minimi termini  a e b sono primi tra loro:non hanno fattori primi in comune.
Se radice di 3 = a su bi allora 3= a(elevato a 2) su b(elevato a 2) per la proprietà invariantiva.
Elevare un numero al quadrato vuol dire elevare tutti i suoi fattori primi al quadrato quindi i fattori di a(alla seconda) e b(alla seconda) sono uguali a quelli di a e b,ma elevati al quadrato e quindi anch'essi sono primi tra loro.
a(elevato al quadrato) non può essere il triplo di b(elevato al quadrato)poichè b è diverso da uno.
Quindi a(al quadrato) su b(al quadrato) è diverso da tre,di conseguenza a su b diverso da radice di tre.Contraddiciamo quindi un'affermazione precedente ed arriviamo all'assurdo.

Il terzo per ora non ci riesco.

[Northwood]

Ci provo:

1)Applicando il teorema di Ruffini ad un qualsiasi binomio del tipo x(elevato ad n) + y(elevato ad n),quindi sostiutuendo la variabile y alla x otteniamo :y(elevato ad n) + y(elevato ad n) = 2y(elevato ad n) diverso da 0, per y diverso da 0.
Quindi il binomio x(elevato a n) + y(elevato ad n) non è divisibile per x-y
Sostituendo -y alla variabile x,si ottiene -y(elevato ad n) + y (elevato ad n) che è uguale a zero.Ciò è vero solo se n è dispari.Pertanto il binomio x (elevato ad n) + y (elevato ad n) è divisibile per x+y soltanto se l'esponente n appartenente ad n è dispari.
x(alla seconda) + y(alla seconda) hanno esponenti pari.Quindi non è scomponibile.

Quello che hai detto potrei definirlo tutto giusto: peccato che tu abbia dimostrato soltanto che non si può dividere per (x+y) e per (x-y), mentre io ti chiedevo di escludere proprio la possibilità di una scomposizione.

2)Un numero irrazionale è un numero che non essere scritto sotto forma di frazione.
Per assurdo supponiamo che radice di 3 sia un numero razionale,quindi che si possa scrivere in forma di a su b,una frazione semplificata,positiva e ridotta ai minimi termini.
Se una frazione è ridotta ai minimi termini  a e b sono primi tra loro:non hanno fattori primi in comune.
Se radice di 3 = a su bi allora 3= a(elevato a 2) su b(elevato a 2) per la proprietà invariantiva.
Elevare un numero al quadrato vuol dire elevare tutti i suoi fattori primi al quadrato quindi i fattori di a(alla seconda) e b(alla seconda) sono uguali a quelli di a e b,ma elevati al quadrato e quindi anch'essi sono primi tra loro.

Finquì è giusto

a(elevato al quadrato) non può essere il triplo di b(elevato al quadrato)poichè b è diverso da uno.

Falso.

[Steve]

Problema 3 (Geometria):
Dato un triangolo rettangolo con un angolo di 30°, stabilire, dato il cateto minore m,  la lunghezza dell'ipotenusa e del cateto maggiore.
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 :kaos0281:

[Pigkappa]

Parto dal secondo, il più facile, visto che quest'anno la abbiamo già fatta, quella roba.

Sqrt(3) non è un numero razionale, ovvero non è esprimibile con una frazione.

Si prenda la frazione m/n e si supponga che m ed n siano primi tra loro (altrimenti, basterebbe semplificare fino ad ottenerli primi tra loro) e che ovviamente sia m diverso da n. Si supponga, per assurdo, che m/n=sqrt(3). Si ha che la radice di 3 è il rapporto tra due numeri primi tra loro, e ciò è assurdo.
[Edit: me ne sono scordato un pezzo u_u. Elevando al quadrato entrambi, si ha m²/n²=3. Poichè m ed n erano primi tra loro, anche m²/n² lo saranno. Non possono quindi dare come rapporto un numero intero]

Numero 3: si raddoppi il triangolo: si ottiene un triangolo equilatero con altezza m. Nel triangolo equilatero il lato (che è, nel nostro caso, l'ipotenusa) è dato dal doppio dell'altezza fratto radice di tre: nel nostro caso, si tratta dell'ipotenusa. L'altro cateto è metà dell'ipotenusa.


Ora il primo, il più difficile. C'era sul libro dell'anno scorso, ma dubito di averlo mai letto.

x²+y² non scomponibile.
Per assurdo, se fosse scomponibile, si potrebbe esprimere come un fattore a per un fattore b; questi fattori sarebbero sicuramente di grado inferiore al secondo. Quindi, potrebbero essere indifferentemente positivi o negativi al variare di x ed y. Però, così, sarebbe possibile che siano discordi (a>0 e b<0 o viceversa), ed il loro prodotto risulterebbe un numero negativo. Ciò sarebbe assurdo, perchè x² ed y², come la loro somma, non possono scendere sotto lo zero.

[Northwood]

Pigkappa mi hai deluso.

Parto dal secondo, il più facile, visto che quest'anno la abbiamo già fatta, quella roba.

Sqrt(3) non è un numero razionale, ovvero non è esprimibile con una frazione.

Si prenda la frazione m/n e si supponga che m ed n siano primi tra loro (altrimenti, basterebbe semplificare fino ad ottenerli primi tra loro) e che ovviamente sia m diverso da n. Si supponga, per assurdo, che m/n=sqrt(3). Si ha che la radice di 3 è il rapporto tra due numeri primi tra loro, e ciò è assurdo.
[Edit: me ne sono scordato un pezzo u_u. Elevando al quadrato entrambi, si ha m²/n²=3. Poichè m ed n erano primi tra loro, anche m²/n² lo saranno. Non possono quindi dare come rapporto un numero intero]

Sarebbe meglio che dimostrassi che se m e n sono primi tra loro anche m^2 e n^2 lo sono.

Numero 3: si raddoppi il triangolo: si ottiene un triangolo equilatero con altezza m. Nel triangolo equilatero il lato (che è, nel nostro caso, l'ipotenusa) è dato dal doppio dell'altezza fratto radice di tre: nel nostro caso, si tratta dell'ipotenusa. L'altro cateto è metà dell'ipotenusa.

Perchè m è l'altezza ?

Ora il primo, il più difficile. C'era sul libro dell'anno scorso, ma dubito di averlo mai letto.

x²+y² non scomponibile.
Per assurdo, se fosse scomponibile, si potrebbe esprimere come un fattore a per un fattore b; questi fattori sarebbero sicuramente di grado inferiore al secondo. Quindi, potrebbero essere indifferentemente positivi o negativi al variare di x ed y. Però, così, sarebbe possibile che siano discordi (a>0 e b<0 o viceversa), ed il loro prodotto risulterebbe un numero negativo. Ciò sarebbe assurdo, perchè x² ed y², come la loro somma, non possono scendere sotto lo zero.

Dimostrazione davvero originale.

Per ora, 6-

[Pigkappa]

Per la definizione di numeri primi tra loro... Non hanno fattori in comune. Se raddoppio l'esponente di ogni fattore, continuano a non averne in comune.

Perchè m è l'altezza ?

Perchè mi sa che ho sbagliato; non so come fare un disegno qua, comunque. Dopo sistemo.

[Pigkappa]

Avevo sbagliato un po' tutto. Allegata è l'immagine giusta.

Si raddoppia dalla parte dell'angolo di 30°, e si ottiene un triangolo equilatero. Il lato di tale triangolo risulta essere l'ipotenusa; il cateto minore m è metà di tale lato. Quindi, ipotenusa = 2m.
Il cateto maggiore è dato dall'altezza. Per pitagora, si ha (si indica con n il cateto maggiore): n²=ip²-m²=3m²==> cateto maggiore = m per radice di tre.

[Northwood]

Avevo sbagliato un po' tutto. Allegata è l'immagine giusta.

Si raddoppia dalla parte dell'angolo di 30°, e si ottiene un triangolo equilatero. Il lato di tale triangolo risulta essere l'ipotenusa; il cateto minore m è metà di tale lato. Quindi, ipotenusa = 2m.
Il cateto maggiore è dato dall'altezza. Per pitagora, si ha (si indica con n il cateto maggiore): n²=ip²-m²=3m²==> cateto maggiore = m per radice di tre.
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E' ottimo. Il voto è salito a 8 e mezzo.

[Cho Teko]

Premettendo che non ho ancora letto le soluzioni degli altri, comincio a postare la 3, e poi (forse) gli altri:
Prolunghiamo il cateto minore AB dalla parte di A, di un segmento AD uguale ad AB, quindi congiungiamo D e C. Otterremo un triangolo equilatero, quindi BC è il doppio di AB, e AC è calcolabile con il teorema di Pitagora:
BC = 2AB
AC = sqrt(BC²-AB²)

Ecco quella per il primo:
x²+y² non è scomponibile.
Sappiamo i seguenti dati:
x²,y²,x²+y² sono necessariamente numeri positivi, in quanto quadrati o somme di quadrati.
Ora, supponiamo per assurdo che x²+y² sia divisibile per a*b. In questo caso sapremmo che:
a,b non possono essere elevati ad una potenza superiore a 1, o non avremmo x²+y².
Però a e b non avrebbero alcun vincolo di segno, quindi sia a sia b potrebbero essere negativi. Se uno fosse negativo e uno fosse positivo, il risultato della moltiplicazione dovrebbe essere necessariamente negativo, negando l'ipotesi che x²+y² è un numero positivo. Quindi non esiste un numero per cui sia possibile dividere x²+y².

Soluzione strana per il secondo... non credo che sia accettabile :P
Supponiamo che, per assurdo, sqrt(3) sia esprimibile con una frazione:
a/b=sqrt(3)
In questo caso
a²/b²=3
Di conseguenza:
a²=3b²
Questo significa che a² deve per forza essere multiplo di 3, in quanto b² è un numero intero. a², quindi, è un quadrato perfetto ed è multiplo di 3. a² è quindi 9, o 36, o così via. Conoscendo a² sarà facile ricavare b², in quanto è a²/3. Adesso scomponiamo la frazione ottenuta (quale che essa sia, i suoi membri saranno divisibili per 3), fino a far diventare a² il più piccolo quadrato perfetto divisibile per 3, ovvero 9.
9=3b², quindi b²=3.
a²=9
b²=3
a=3
b=sqrt(3)
I dati sono corretti, in quanto:
3/sqrt(3)=sqrt(3)
Ora, qualunque sia il valore di b², ridotto fino ad essere un numero primo o no, la sua radice quadrata sarà sempre un numero irrazionale, che trovandosi al denominatore di una frazione deve necessariamente essere un numero intero o un'altra frazione, ma non è un numero intero e non può essere espresso come frazione, quindi non può trovarsi al denominatore di una frazione, o verrebbe una frazione divisa per un'altra frazione divisa per un'altra all'infinito, avendo sempre un denominatore impossibile alla fine.

[Northwood]

Premettendo che non ho ancora letto le soluzioni degli altri, comincio a postare la 3, e poi (forse) gli altri:
Prolunghiamo il cateto minore AB dalla parte di A, di un segmento AD uguale ad AB, quindi congiungiamo D e C. Otterremo un triangolo equilatero, quindi BC è il doppio di AB, e AC è calcolabile con il teorema di Pitagora:
BC = 2AB
AC = sqrt(BC²-AB²)

Ecco quella per il primo:
x²+y² non è scomponibile.
Sappiamo i seguenti dati:
x²,y²,x²+y² sono necessariamente numeri positivi, in quanto quadrati o somme di quadrati.
Ora, supponiamo per assurdo che x²+y² sia divisibile per a*b. In questo caso sapremmo che:
a,b non possono essere elevati ad una potenza superiore a 1, o non avremmo x²+y².
Però a e b non avrebbero alcun vincolo di segno, quindi sia a sia b potrebbero essere negativi. Se uno fosse negativo e uno fosse positivo, il risultato della moltiplicazione dovrebbe essere necessariamente negativo, negando l'ipotesi che x²+y² è un numero positivo. Quindi non esiste un numero per cui sia possibile dividere x²+y².

Soluzione strana per il secondo... non credo che sia accettabile :P
Supponiamo che, per assurdo, sqrt(3) sia esprimibile con una frazione:
a/b=sqrt(3)
In questo caso
a²/b²=3
Di conseguenza:
a²=3b²
Questo significa che a² deve per forza essere multiplo di 3, in quanto b² è un numero intero. a², quindi, è un quadrato perfetto ed è multiplo di 3. a² è quindi 9, o 36, o così via. Conoscendo a² sarà facile ricavare b², in quanto è a²/3. Adesso scomponiamo la frazione ottenuta (quale che essa sia, i suoi membri saranno divisibili per 3), fino a far diventare a² il più piccolo quadrato perfetto divisibile per 3, ovvero 9.
9=3b², quindi b²=3.
a²=9
b²=3
a=3
b=sqrt(3)
I dati sono corretti, in quanto:
3/sqrt(3)=sqrt(3)
Ora, qualunque sia il valore di b², ridotto fino ad essere un numero primo o no, la sua radice quadrata sarà sempre un numero irrazionale, che trovandosi al denominatore di una frazione deve necessariamente essere un numero intero o un'altra frazione, ma non è un numero intero e non può essere espresso come frazione, quindi non può trovarsi al denominatore di una frazione, o verrebbe una frazione divisa per un'altra frazione divisa per un'altra all'infinito, avendo sempre un denominatore impossibile alla fine.
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6, anche se dell'ultima dimostrazione sono giuste solo le prime otto righe.

[Cho Teko]

Infatti, l'ultima volevo rifarla (l'ho scritta ieri sera tardi °_°), potresti non contarla e lasciarmi un pò di tempo per correggerla?

[Pigkappa]

Posso sapere ogni esercizio quante vale? :O

[Northwood]

Posso sapere ogni esercizio quante vale? :O
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4 3 3

[Pigkappa]

...E dove ho avuto mancanze? :*