Ecco le agoniate soluzioni:
Problema 1 (Insiemistica):
Dobbiamo dimostrare che

.
Per definizione, dati due insiemi

e

,

Analogamente,

.
Posto A:"

"
B: "

Si ha:


Dobbiamo dimostrare che

e per rendercene conto osserviamo le tabelle di verità:

Il teorema è quindi dimostrato in ogni caso.
Problema 2 (Aritmetica):

Applichiamo il passo induttivo:
- Per

la tesi è banalmente soddisfatta
- Supponiamola vera per

e dimostriamo che vale per

Si ha:

E finendo i calcoli:

La tesi è quindi dimostrata per induzione.
Problema 3 (Geometria):
Innanzi tutto mi scuso per l'errore nella definizione di segmento adiacente, e propongo qui la soluzione:
Due segmenti si dicono adiacenti se e solo se sono consecutivi e stanno sulla stessa retta.
